wacchoz’s note

プログラミングとか数学について

スキニングの話(1)

どうせ暇だしスキニングについて書いてみる。

スキニングとは3Dアニメーションで使われる手法で、ポリゴン内部にボーンを仕込んでおき、ボーンを動かすことでポリゴンを変形させる手法である。

骨格構造はジョイント（関節）の集合である。
そしてジョイントとは単なる点ではなく、ジョイントを原点とする座標系を意味すると考えたほうがよい。それぞれのジョイントに $xyz$ 座標系があるわけだ。
各ポリゴンはそれぞれのジョイント（で定義される座標系）からどれだけ影響されているかという重みを与えられている。
ではボーンは何かというと、親子関係のあるジョイント間を線で結んだだけのものである。人間にとってわかりやすくするための便宜上のものといえる。

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まず初期姿勢（rest pose）で考えよう。
両手を左右に伸ばして立っているあの姿勢である。

$M_{10}$ でジョイント $j_1$ を原点とする座標系からモデル空間へ変換行列を表すことにする。
たとえば $j_1$ を原点とする座標系の原点は、モデル空間での座標は、 $M_{10}\times (0,0,0,1)^T$ で表すことができる。

同様に、 $M_{21}$ でジョイント $j_2$ を原点とする座標系からジョイント $j_1$ を原点とする座標系に変換する行列としよう。

ジョイントは親から順に $1, 2, 3,\dots , k$ と繋がっているとすると、ジョイント $j_k$ を原点とする座標系をモデル空間に変換する行列は、

$\displaystyle M_{k0}=M_{k,k-1}\times\dots\times M_{21}\times M_{10}$

と書ける。またモデル空間からジョイント $j_k$ を原点とする座標系への変換は、この行列の逆行列であり、

$\displaystyle M_{0k}=M_{k0}{}^{-1}$

と書ける。

さてアニメーションとは、 $M_{k0}$ を時刻 $t$ によって刻々と変化させていくことに他ならない。

行列 $M$ は初期姿勢のときの行列として用いたため、アニメーションにより変化したときの行列は $B$ で表すことにしよう。

時刻 $t$ でのジョイント $j_k$ からモデル空間への変換行列を $B_{k0}(t)$ とする。

同様に

$\displaystyle B_{k0}(t)=B_{k,k-1}(t)\times\dots\times B_{21}(t)\times B_{10}(t)$

である。

ある初期姿勢でのメッシュ上の点 $v$ がジョイント $j_k$ にのみ影響されているとしよう。

このとき点 $\mathbf{v}$ の、ジョイント $j_k$ を原点とする座標系での座標は、 $M_{k0}{}^{-1} \mathbf{v}$ となる。

この点を時刻 $t$ でのモデル空間での座標に変換すると、

$\displaystyle v' = B_{k0}(t)\times M_{k0}{}^{-1}\times \mathbf{v}$

となる。これがボーンアニメーションの基本である。
しばしば $C_{k}(t) = B_{k0}(t) \times M_{k0}{}^{-1}$ とまとめて書かれることもある。

ここまでは点 $\mathbf{v}$ がジョイント $j_k$ のみに影響されるとしてきたが、複数のジョイントに影響される場合も同様であり、ジョイント $j_{k1}, j_{k2}, \dots, j_{kn}$ にそれぞれ重み $w1, w2, \dots , wn$ で影響されるとした場合、

$\displaystyle \mathbf{v'}=\sum_{i=1}^n w_i B_{ki,0}(t)M_{ki,0}{}^{-1}\mathbf{v}$

とする方法がLinear Blend Skinningである。この方法は広く用いられ、そしてしばしば問題を引き起こす。（つづく）